유체의 지배방정식이며, 비선형 미분방정식입니다.

실해를 얻어내기에는 굉장히 한정적이며, FVM 등의 방법을 활용하여 근사해를 구합니다만 실제 유체를 굉장히 정밀하게 해석하는 것으로 알려져 있습니다.

또한, 밀레니엄 문제 중 하나에 포함되어 있는 것으로 유명합니다.



Reynolds Transport Theorem (레이놀즈 전달 정리)

Reynolds Transport Theorem을 다루지 않고, “유체” 에 대한 식을 전개할 수 없습니다. 말그대로 유체는 흐르는 것이기 때문입니다. 이 흐름의 수학적 표현이 바로 Reynolds Transport Theorem입니다.

\(B_{sys}\) 를 어떠한 유체의 성질이라고 한다면,

\[\begin{aligned} \frac{dB_{sys}}{dt} = \frac{\partial}{\partial{t}}\int_{CV} \beta \rho dV + \int_{CS} \beta \rho (v \cdot n )dA \end{aligned}\]

where, \(CV: Control Volume, CS: Control Surface, \\ B_{sys} = \int_{CV} \beta \rho dV \\ \rho: density\)

오른쪽 변의 2번째 항의 \(v\)는 Control Surface 표면에서의 속도벡터입니다. \(n\)은 표면 면적에 수직한 법선벡터입니다.

여기서 유의해야 할 것이 이렇게 표현하면 나가는 방향이 +, 들어오는 방향이 - 라는 것입니다.

왜 나가는데 +를 해줘야 하고, 들어오는 것을 -로 해주어야 할까요?

이것을 이해하는게 상당히 중요한데, 관심이 있는 것은 \(B_{sys}\)이지 CV안의 물성 \(B_{CV}\) 가 아닙니다!

특정 시점(point)에 (CV를 구성한 시점) \(B_{sys} = B_{CV}\) 이지만, 문제는 유체라서 흐르는 것이죠.

CV 안에 있었던, 하지만 \(B_{sys}\) 에 속해 있던 그 물성이 방금 나갔으니 그것을 더해주어야 하는 것이고,

CV 밖에 있었던, 하지만 \(B_{sys}\) 에 속하지 않았던 들어온 친구를 빼주어야 하는 것입니다.

마지막으로 식을 조금 변형해서 \(dA\) 면적을 법선벡터를 포함된 값으로 보면 \(dA = \lvert {dA} \rvert \vec{n}\) 아래 처럼도 쓸 수 있을 것입니다.

\[\begin{aligned} \frac{dB_{sys}}{dt} = \frac{\partial}{\partial{t}}\int_{CV} \beta \rho dV + \int_{CS} \beta \rho v \cdot dA \end{aligned}\]



Continuity Equation (연속방정식)

연속방정식은 유체역학의 구성방정식. 쉽게 말해 만족해야만 하는 제한 조건과 같은 식입니다. 질량 보존의 법칙이기 때문에 거의 모든 상황에서 만족하는 것이 당연할 것입니다.

\[\begin{aligned} \frac{d m_{sys}}{dt} &= \frac{\partial}{\partial{t}} \int_{CV} \rho dV + \int_{CS} \rho v \cdot dA = 0 \end{aligned}\]


- Cartesian Fixed Control Volume

velocity field \(v = u\vec{i} + \nu\vec{j} + w\vec{k}\)

\[\begin{aligned} \frac{\partial{\rho}}{\partial{t}}dxdydz + dxdydz(\frac{\partial{\rho u}}{\partial{x}} + \frac{\partial{\rho \nu}}{\partial{y}} + \frac{\partial{\rho w}}{\partial{z}}) = 0 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \frac{\partial{\rho}}{\partial{t}} + (\frac{\partial{\rho u}}{\partial{x}} + \frac{\partial{\rho v}}{\partial{y}} + \frac{\partial{\rho w}}{\partial{z}}) = 0 \end{aligned}\]


Incompressible Flow (비압축 유체) 에서는 ( \(\rho: constant, \frac{\partial{\rho}}{\partial{x^i}} = 0, \frac{\partial{\rho}}{\partial{t}} = 0\) )

\[\begin{aligned} \frac{\partial{u}}{\partial{x}} + \frac{\partial{\nu}}{\partial{y}} + \frac{\partial{w}}{\partial{z}} = 0 \end{aligned}\]


Steady-State (정상 상태) 에서는 ( \(\frac{\partial}{\partial{t}} = 0\) )

\[\begin{aligned} \frac{\partial{\rho u}}{\partial{x}} + \frac{\partial{\rho \nu}}{\partial{y}} + \frac{\partial{\rho w}}{\partial{z}} = 0 \end{aligned}\]


- Reynolds Transport Theorem with Gauss’s Divergence Theorem

(fixed Control Volume)

\[\begin{aligned} \frac{d m_{sys}}{dt} &= \frac{\partial}{\partial{t}} \int_{CV} \rho dV + \int_{CS} \rho v \cdot dA = 0 \end{aligned}\]

좌측의 두번째 항에 대해 Gauss’s Divergence Theorem 에 의해서,

\[\begin{aligned} \int_{CS} \rho v \cdot dA = \int_{CV} \nabla \cdot (\rho v) dV \end{aligned}\]

(fixed Control Volume)

\[\begin{aligned} \frac{d m_{sys}}{dt} &= \int_{CV} \frac{\partial{\rho}}{\partial{t}} dV + \int_{CV} \nabla \cdot (\rho v) dV = 0 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \int_{CV} [\frac{\partial{\rho}}{\partial{t}} + \nabla \cdot (\rho v) ] dV = 0 \end{aligned}\]

위 식이 항상 만족하기 위해서는, 적분 내부항이 0이여야 하기 때문에,

\[\begin{aligned} \frac{\partial{\rho}}{\partial{t}} + \nabla \cdot (\rho v) = 0 \end{aligned}\]


Incompressible Flow (비압축 유체) 에서는 ( \(\rho: constant, \frac{\partial{\rho}}{\partial{x^i}} = 0, \frac{\partial{\rho}}{\partial{t}} = 0\) )

\[\begin{aligned} \nabla \cdot v = 0 \end{aligned}\]


Steady-State (정상 상태) 에서는 ( \(\frac{\partial}{\partial{t}} = 0\) )

\[\begin{aligned} \nabla \cdot (\rho v) = 0 \end{aligned}\]



Linear Momentum Conservation (선형 모멘텀 보존식)

뉴턴 제2법칙을 알고있다면 친숙하시겠지만, 시간에 따른 선형모멘텀의 변화 즉 선형모멘텀의 시간 미분이 힘 으로 표현됩니다.

\[\begin{aligned} \frac{d (mv)_{sys}}{dt} &= \Sigma F = \frac{\partial}{\partial{t}} \int_{CV} \rho v dV + \int_{CS} \rho v (v \cdot dA) \end{aligned}\]


\[\begin{aligned} \Sigma F = F_{pressure} + F_{viscous} + F_{gravity} \end{aligned}\]


- Cartesian Fixed Control Volume

\(x\)축만을 놓고 보면,

\[\begin{aligned} \Sigma dF_x &= -\frac{\partial{P}}{\partial{x}}dV + \frac{\partial{\sigma_{xx}}}{\partial{x}}dV + \frac{\partial{\tau_{yx}}}{\partial{y}}dV + \frac{\partial{\tau_{zx}}}{\partial{z}}dV + \rho g_x dV \end{aligned}\]

where, \(dV = dxdydz\)

\(\tau\) 를 2차텐서로 아래와 같이 정의하여 3축의 식을 한 식으로 표현하면,

\[\tau = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix}\]


\[\begin{aligned} \Sigma dF &= (-\nabla P + \nabla \cdot \tau + \rho g)dV \end{aligned}\]


\[\begin{aligned} \frac{\partial{\rho v}}{\partial{t}} dV + [\rho v (v \cdot dA)]_{+out -in} &= \frac{\partial{\rho v}}{\partial{t}}dV + \frac{\partial{u \rho v}}{\partial{x}}dV + \frac{\partial{\nu \rho v}}{\partial{y}}dV + \frac{\partial{w \rho v}}{\partial{z}}dV \end{aligned}\]


\[\begin{aligned} \therefore (-\nabla P + \nabla \cdot \tau + \rho g)dV = \frac{\partial{\rho v}}{\partial{t}}dV + \frac{\partial{u \rho v}}{\partial{x}}dV + \frac{\partial{\nu \rho v}}{\partial{y}}dV + \frac{\partial{w \rho v}}{\partial{z}}dV \end{aligned}\]


\[\begin{aligned} -\nabla P + \nabla \cdot \tau + \rho g &= \frac{\partial{\rho v}}{\partial{t}} + \frac{\partial{u \rho v}}{\partial{x}} + \frac{\partial{\nu \rho v}}{\partial{y}} + \frac{\partial{w \rho v}}{\partial{z}} \\ &= \rho \frac{\partial{v}}{\partial{t}} + v \frac{\partial{\rho}}{\partial{t}} + u \rho \frac{\partial{v}}{\partial{x}} + \nu \rho \frac{\partial{v}}{\partial{y}} + w \rho \frac{\partial{v}}{\partial{z}} + v \frac{\partial{u \rho}}{\partial{x}} + v \frac{\partial{\nu \rho}}{\partial{y}} + v \frac{\partial{w \rho}}{\partial{z}} \\ &= \rho \frac{\partial{v}}{\partial{t}} + u \rho \frac{\partial{v}}{\partial{x}} + \nu \rho \frac{\partial{v}}{\partial{y}} + w \rho \frac{\partial{v}}{\partial{z}} + v ( \frac{\partial{\rho}}{\partial{t}} + \frac{\partial{u \rho}}{\partial{x}} + \frac{\partial{\nu \rho}}{\partial{y}} + \frac{\partial{w \rho}}{\partial{z}}) \end{aligned}\]

because last four terms are of continuity equation, which becomes zero

\[\begin{aligned} -\nabla P + \nabla \cdot \tau + \rho g &= \rho \frac{\partial{v}}{\partial{t}} + u \rho \frac{\partial{v}}{\partial{x}} + \nu \rho \frac{\partial{v}}{\partial{y}} + w \rho \frac{\partial{v}}{\partial{z}} \\ &= \rho (\frac{\partial{v}}{\partial{t}} + u \frac{\partial{v}}{\partial{x}} + \nu \frac{\partial{v}}{\partial{y}} + w \frac{\partial{v}}{\partial{z}}) \\ &= \rho \frac{dv}{dt} \end{aligned}\]


If viscousity terms are represented by Newtonian Fluid

\[\tau_{ij} = \mu (\frac{\partial{v_i}}{\partial{x_j}} + \frac{\partial{v_j}}{\partial{x_i}})\] \[\nabla \cdot \tau = \mu (\nabla^2 v + \nabla (\nabla \cdot v))\] \[\begin{aligned} \rho \frac{dv}{dt} &= -\nabla P + \mu (\nabla^2 v + \nabla (\nabla \cdot v)) + \rho g \end{aligned}\]

For the incompressible flow
\(\nabla \cdot v = 0\)


\[\begin{aligned} \rho \frac{dv}{dt} &= -\nabla P + \mu \nabla^2 v + \rho g \end{aligned}\]

We’ve just got Navier-Stokes Equation for incompressible flow!


- Reynolds Transport Theorem with Gauss’s Divergence Theorem

(fixed Control Volume)

\[\begin{aligned} F_{pressure} + F_{viscous} + F_{gravity} = \frac{\partial}{\partial{t}} \int_{CV} \rho v dV + \int_{CS} \rho v (v \cdot dA) \end{aligned}\]


Caution: \(dA = \lvert dA \rvert \vec{n}\)

let’s take \(F_{pressure}\) into \(F_{viscous}\) with \(\hat \tau\)

\[\hat \tau = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} - p & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} - p & \tau_{yz} \\\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} - p \end{pmatrix} = \tau - pI\] \[\begin{aligned} F_{viscous + pressure} = \int_{CS} \hat \tau \cdot dA \end{aligned}\] \[\begin{aligned} F_{gravity} = \int_{CV} \rho g dV \end{aligned}\]


\[\begin{aligned} \int_{CS} \hat \tau \cdot dA + \int_{CV} \rho g dV = \frac{\partial}{\partial{t}} \int_{CV} \rho v dV + \int_{CS} \rho v (v \cdot dA) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \int_{CV} \nabla \cdot \hat \tau dV + \int_{CV} \rho g dV = \int_{CV} \frac{\partial{\rho v}}{\partial{t}} dV + \int_{CV} \nabla \cdot (\rho v) v + \rho v \cdot \nabla v dV \end{aligned}\]

For it holds regardless of CV

\[\begin{aligned} \nabla \cdot \hat \tau + \rho g = \frac{\partial{\rho v}}{\partial{t}} + \nabla \cdot (\rho v) v + \rho v \cdot \nabla v \end{aligned}\] \[\begin{aligned} -\nabla p + \nabla \cdot \tau + \rho g &= \rho \frac{\partial{v}}{\partial{t}} + v \frac{\partial{\rho}}{\partial{t}} + \nabla \cdot (\rho v) v + \rho v \cdot \nabla v \\ &= \rho \frac{\partial{v}}{\partial{t}} + \rho v \cdot \nabla v + (\frac{\partial{\rho}}{\partial{t}} + \nabla \cdot (\rho v))v \\ &= \rho \frac{\partial{v}}{\partial{t}} + \rho v \cdot \nabla v \\ &= \rho \frac{dv}{dt} \end{aligned}\]

As mentioned before, applying Newtonian Fluid Assumption for viscous term.

\[\begin{aligned} \rho \frac{dv}{dt} &= -\nabla p + \mu (\nabla^2 v + \nabla (\nabla \cdot v)) + \rho g \end{aligned}\]

For the incompressible flow
\(\nabla \cdot v = 0\)


\[\begin{aligned} \rho \frac{dv}{dt} &= -\nabla p + \mu \nabla^2 v + \rho g \end{aligned}\]